벡터, 행렬, 행렬식의 표기

백터표기

1. 벡터는 기본적으로 종벡터(세로로 길게쓴 벡터)를 사용한다.

이유: 벡터는 주로 행렬과의 연산과 함께 쓰는데, 어순을 지키기 위함이다. 예를 들어, 행렬의 곱 $A\textbf{x}$을 어순을 바꿔쓰면, $\textbf{x}A$으로 부자연스럽기 때문이다.

2. 벡터는 주로 $\textbf{x, v, e}$와 같이 두꺼운 글씨로 표기한다.

이유: 벡터와 숫자를 확실히 구분하려고 한다. 기본이지만 이를 익혀두는 것이 좋다.

3. 숫자의 나열로서의 벡터는 $x$, 공간의미를 강조하고자할 때는 $\vec{x}$로 표기한다.

4. 좌표는 '기저'에 기인하지만, 극좌표의 경우도 있을 수 있다.

5. 아핀공간이란? 선형 공간과 달리, 공간에서의 원점이 없는 공간

6. 기저의 조건

 - 어떤 벡터 $\vec{v}$라도  $\vec{v} = x_{1}\vec{e_{1}}+...+x_{n}\vec{e_{n}}$로 표현할 수 있다.

 - 위와 같이 표현하는 방법으로 딱 한가지로만 표현할 수 있다.

7. 차원

 = 기저벡터의 개수 = 좌표의 성분의 수 

 

 

행렬: 수를 직사각 형태로 나타낸 것

1. 행렬의 표기: 알파벳 대문자로 표기하며, 두꺼운 글씨가아닌 단순한 대문자로 쓰는 것이 일반적.

2. 행렬의 곱

 - 행렬과 벡터의 곱은 벡터

 - 행렬의 열의 수(컬럼 수)가 차원수, 행 수(로우 수, 높이)가 출력의 차원수

 - 행렬의 A을 곱한다는 것 = 선형 사상이라고 할 수 있음

 - 행렬끼리의 곱 = 사상의 합성

 - 영행렬$O$은 모든것을 영점으로 되돌리는 사상

 - 행렬의 거듭제곱 = 사상의 반복: $AA=A^{2}$과 같이 $A$가 공간에서의 사상이라고하면 2번 반복하는 의미가있다.

 - 행렬의 0제곱: $A^{0}=I$  I은 단위행렬을 의미

3. 단위행렬: 정방행렬에서 대각행렬만 1이고 모두 0인 행렬 $\begin{bmatrix}
 1 & 0 & 0\\ 
 0 & 1 & 0\\ 
 0 & 0 & 1
\end{bmatrix}$

4. 대각행렬: 정방행렬이지만, 대각행렬만 0이 아니고 모두 0인경우 $\begin{bmatrix}
 3 & 0 & 0\\ 
 0 & 1 & 0\\ 
 0 & 0 & 5
\end{bmatrix}$

5. 역행렬= 역사상. 정의: 정방행렬$A$에 대해 그 역사상에 대응하는 행렬을 A의 역행렬이라고 함. 기로호는 $A^{-1}$으로 쓰고, 어떠한 $x$을 가져와도 $Ax=y$ 또는 $A^{-1}y=x$이다. 그리고, 이 역행렬은 있을 수도 없을 수도 있음.

6. 행렬의 곱셈 트릭

$y=A\textbf{x}+b$ 을 행렬의 곱으로만 표시할 수 있을까? 정답은 Y이다. +b와 같이 상수항의 덧셈이 있을 땐, $\tilde{y} = \tilde{A}\tilde{x}$ 으로 표기하고, $\tilde{A}=A+o^{T}$, $\tilde{x}=x+1$ 으로 표기하면 한번에 처리할 수 있다.

7. 행렬식: determinant. 표기법: $det A, |A|$

8. 행렬식의 성질

 - det(I) = 1, 

 - det(AB) = det(A) x det(B)

 - $det A = \frac{1}{detA}$

 - 어느열이든 두 열이 완전히 같은 경우는 det A = 0. 예) $\begin{bmatrix}
 2 &  2& 4 \\ 
 7 &  7& 5 \\ 
 3 &  3& 2
\end{bmatrix}$